matura 2010 - poziom rozszerzony

Zadanie 1
Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie:

Zadanie 2
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania należące do przedziału

Rozwiązanie:

Zadanie 3
Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach  BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak,  by |CD| = 2|DF|. Oblicz wartość x = |DF|, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

Rozwiązanie:

Zadanie 4
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu wiedząc, że W(2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x-3) jest równa 10.

Rozwiązanie:

Zadanie 5
O liczbach a, b, c wiadomo, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c = 10, zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie:

Zadanie 6
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa niż

Rozwiązanie:

Zadanie 7
Punkt A = (-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu  y = x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Rozwiązanie:

Zadanie 8
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji Przeprowadzono prostą równoległą do osi OX, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3,-1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe niż 2.

Rozwiązanie:

Zadanie 9
Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AC| = |FG|.

Rozwiązanie:

Zadanie 10
Oblicz prawdopodobieństwo, że w trzech rzutach symetryczną sześcienna kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Rozwiązanie:

Zadanie 11
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami  ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie: