matura 2012 - poziom podstawowy - zadania otwarte

Zadanie 26.
Rozwiąż nierówność 

 

Rozwiązanie:
Lewą stronę powyższej nierówności możemy traktować jako wzór funkcji wielomianowej (stopnia 2), w naszym przypadku

(dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste).

Wtedy żądaną nierówność można wyrazić następująco: "Dla jakich argumentów, wartości funkcji f są dodatnie ?"

Interesują nas jedynie wartości dodatnie; punktem wyjścia będzie znalezienie tzw. miejsc zerowych, czyli tych argumentów, dla których wartości wynoszą zero, i wybranie przedziału argumentów, dla których wartości są "powyżej" osi Y.

Znalezienie miejsc zerowych sprowadza się do rozwiązania równania:

Wiemy, że równanie kwadratowe ma przynajmniej jedno rozwiązanie, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego (tzw. "delta") jest nieujemny. Sprawdźmy więc, jak się ma nasza delta:

(w naszym zadaniu a = 1, b = 8, c = 15),

Zatem delta jest równa 4 > 0, czyli równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązanie. Znajdujemy je korzystając ze wzorów:

czyli,

Wobec tego podana funkcja f zeruje się dla argumentów -3 oraz -5. Teraz wystarczy już tylko naszkicować pomocniczy wykres funkcji f i odczytać przedział tych x, dla których f(x) > 0.

Przypomnijmy, że pomocniczy wykres rysujemy z prawej strony; czy "od góry", czy "od dołu", to zależy od znaku współczynnika przy x w najwyższej potędze.

W naszym przypadku najwyższa potęga wynosi 2, a współczynnik przy x w potędze drugiej wynosi a  = 1 > 0. Będziemy, więc wykres rysować "od góry".

O czym jeszcze musimy pamiętać? O krotności rozwiązań, czyli pierwiastków. Nasz wykres będzie przecinał oś X tylko w przypadku, gdy dany pierwiastek jest nieparzystego stopnia.

W zadaniu mamy dwa różne pierwiastki krotności jeden, więc wykres za każdym razem będzie przecinał oś X.

Zatem:

Na koniec tak jak zapowiadaliśmy, musimy odczytać przedział tych argumentów (tych x), dla których wartości funkcji są dodatnie (ponad osią X).

W naszym przypadku

 Ostatecznie,  podana nierówność jest spełniona dla

Zadanie 27.
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0 < a < b < c, to

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać to zadanie musimy wiedzieć, co wiemy, a czego nie.
Zadanie można powiedzieć prościej:
"Jeśli mamy liczby rzeczywiste dodatnie takie, że  a < b < c, to zachodzi powyższa nierówność".

Zatem wiemy, że mamy do czynienia z trzema dowolnymi, dodatnimi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a jest mniejsze niż b i c oraz b jest mniejsze niż c.  - są to nasze założenia

Nie wiemy zaś,  czy przy naszych założeniach prawdziwa jest nierówność (nasza teza).

Co tu możemy zrobić ... Na pewno przemyślenia byłyby prostsze, gdyby nie ułamki. Ale wiemy, że mnożąc nierówność przez liczbę dodatnią, jej znak się nie zmieni. Aby pozbyć się od razu obydwu mianowników, czyli trójki i dwójki, pomnóżmy obydwie strony równości przez 6.

Wobec tego

jest równoważne

czyli

skracając przez 3 i 2 odpowiednio mamy

2( a + b + c ) > 3( a + b )

wykonując mnożenia otrzymujemy

 2a + 2b + 2c > 3a + 3b.

Co możemy teraz zrobić ? Zauważmy, że po obydwu stronach powtarza się a oraz b. Przenieśmy więc 2a i 2b na prawa stronę nierówności, pozostawiając 2c bez zmian:

2c > 3a + 3b - 2a - 2b,

jest to równoważne

    2c > a + b          (*)

              
I w tym miejscu skorzystamy z założenia, wiemy, że 0 < a < b, czyli

a + b < b + b = 2b

ale z założenia wiemy też, że b < c, więc

a + b < 2b < 2c, 

a to jest nierówność oznaczona (*).

Pokazaliśmy, że nierówność (*) jest prawdziwa, ale z naszego rozumowania wynika, że (*) jest równoważna nierówności wyjściowej (tezie). Wynika stąd, że  również wyjściowa nierówność jest prawdziwa, co należało uzasadnić.

 
Zadanie 28.
Liczby x1 = -4  i   x2 = 3 są pierwiastkami wielomianu Oblicz trzeci pierwiastek wielomianu

Rozwiązanie:
Znając przynajmniej jeden pierwiastek x0 danego wielomianu możemy skorzystać ze Schematu Hornera, podzielić wyjściowy wielomian przez ( x - x0 ).

Jednak w naszym przypadku zadany wielomian jest tak prostej postaci, że wystarczy pogrupować wyrazy podobne.

Zatem

Pierwiastkami wielomianu W są   -4, -3 oraz 3. Ponieważ -4 i 3 były podane, więc szukanym pierwiastkiem jest x3 = -3.

 
Zadanie 29.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (-2, 2)  i  B = (2,10).

Rozwiązanie:
Jak wiemy, symetralna odcinka jest to prosta przechodząca pod kątem prostym przez środek odcinka.

Musimy, więc znaleźć równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej odcinek AB i przechodząca przez punkt, np. P, będący środkiem tego odcinka.

1) Zajmijmy się najpierw znalezieniem środka odcinka AB. Mamy na to gotowy wzór:

Stąd P = ( 0, 6).

2) Teraz wskażmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

Jest to funkcja liniowa, czyli funkcja postaci    y = ax + b, i ma przechodzić przez punkty A i B.

Podstawiając we wzorze ogólnym za zmienne x oraz y współrzędne punktów A, B, otrzymamy układ równań, z którego wyznaczymy współczynniki a, b:

2 = -2a + b

10 = 2a + b

Dodając do siebie powyższe równania dostaniemy 

                 12 = 2b

Skracając obustronnie przez 2, otrzymamy b = 6. 

Podstawiając teraz obliczone b, np. do drugiego z równań mamy

10 = 2a + 6

a stąd

2a = 4

czyli a = 2.

Zatem wzór prostej zawierającej odcinek AB to

y = 2x + 6

3) Pozostało nam już kluczowe znalezienie wzoru symetralnej odcinka AB.

Wiemy teraz, że szukamy prostej prostopadłej do  y = 2x + 6 i przechodzącej przez punkt P = ( 0 , 6 ).

Ponownie podstawmy do wzoru ogólnego funkcji liniowej współrzędne punktu P:

6 = 0 *a' + b',

stąd b' = 6.

Ponadto, jeśli dwie proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1, tj.

a*a' = -1

W punkcie 2) obliczyliśmy, że a = 2, czyli

2 * a' = -1

a' = - 1/2.

Zatem szukany wzór symetralnej odcinka AB to y = -1/2 x + 6.


Zadanie 30.
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A  i  B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie  P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.

Rozwiązanie:

UWAGA: w rozwiązaniu symbol stopni będę oznaczać przez  ^

Rozwiązanie zacznijmy od narysowania dowolnego trójkąta ABC, wyznaczenia jego dwusiecznych, i  na ich przecięciu zaznaczenia punktu P:

Ponieważ w zadaniu rozważamy dowolny trójkąt ABC, musimy więc rozważyć trzy przypadki: gdy jest on ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny.








Zadanie 31.
Ze zbioru liczb {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7} losujemy dwa razy  po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.

Rozwiązanie:

Zadanie 32.
Ciąg (9 , x , 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x , 42 , y , z) jest geometryczny. Oblicz x , y oraz z.

Rozwiązanie:

Zadanie 33.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60 stopni . Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.

Rozwiązanie:

Zadanie 34.
Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Rozwiązanie: